Ecuaciones de segundo grado con una incognita

Una ecuacion de segundo grado con una incognita es una ecuación en donde la mayor potencia de su unica incógnita es 2

^ax2+bx+c=o


La clasificacion de las ecuaciones cuadraticas se dividen en 2


Completas: son aquellas que tienen los 3 terminos y es de esta forma


ax<sup>2+bx+c=0




Incompletas: Cuando en la ecuacion hace falta alguna de los dos ultimos terminos</sup>


ax^2+bx=0                     ax<sup>2+c=0


c=0                              b=0
(Mixta)                         (Pura)


En las ecuaciones puras por ejemplo</sup>


Pura:ax<sup>2+c=0


3x2-27=0


Solo aparece el termino cuadratico


mixta:</sup> ax<sup>2+bx=0


Ej. 2x2+4x=0


aparece el termino cuadratico y el termino lineal










Resolucion de ec. cuadraticas incompletas</sup>


Pura se izla x<sup>2  y se extrae la raíz cuadrada


Mixta: Se aisla</sup> x<sup>2  y se extrae la raíz cuadrada se factoriza y se aplica la propiedad del producto


La propiedad del producto 0, que si un producto es o entonces alguno de los factores es 0


3,, ab=0 entonces a=0 o b=0


Ejemplo pura:</sup>


3x<sup>2-27=0
3x2=27


x2=27/3        
x2=9
               
x=+- v 9
x1=3
x2=-3</sup>

Sistema de ecuaciones lineales 3x3

Un sistema de ecucaciones lineales de 3x3, consiste de 3 ec. de primer grado con 3 variables

Reducción por método de sustitución

1)Despejar uan variable en una ec. y sustituyela en las otras 3
2)Sustituir en ec. 2x2

Ejemplo

3x-y-z=0...1
x-2y+z=1...2
x+3y-z=..3

Despejar z de la ec. 1

z=3x-y...4

Sustituir en las otras "z=3x-y" sustituir en 2 y 3

x-2y+(3x-y)=1
x-2y+3x-y=1


x+3y-(3x-7)=2
x+3y-3x+y=2


x-2y+3x-y=1
x+3y-3x+y=2

4x-3y=1...1
-2x+4y=2...2

Multiplicar la ec.1 x-2
-2(4x-3y=1)
-8x+6y=-2

Multiplicar la ec.2 x-4

-4(-2x+4y=2)
8x-16y=-8

      Eliminar terminos

-8x+6y=-2

8x-16y=-8
     -10y=-10

y=1

Sustituir el valor de y en la ec. 1

4x-3(1)=1
4x-3=1
4x=4
x=1

(1,1)

Metodo de determinantes

Se llama regla de Cramer, un derminante es un arreglo matemático con cirte número de renglones y columnas


Resolver un determinante es como resolver una multiplicación o una suma

                                                                             |2   -5 | 2(-5)=-10,10

                                                                             |2    4 |3(4)=12

*Las flechas hacia abajo conservan su signo

*Las flechas hacia arriba cambian sus signo

ax1+by1=c1

ax2+by2=c1

▲= |x1   y1|                              

       | x2   y2|

▲x=|c1  y1|                            X=▲(x)/▲
        |c2  y2|                            Y=▲(y)/▲

▲y=|x1    c1|
        |x2    c2|

Ejemplo

3x+y=5
4x+2y=8

▲=|3   1|   3(2)=6                  -4+6=2
      |4   2|    4(1)=4,-4                ▲=2


▲x=|5    1| 5(2)=10               -8+10=2
        |8    2|8(1)=8,-8                  ▲x=2/2=1


▲y=|3    5| 3(8)=24                -20+24=4
        |4    8|4(5)=-20                  ▲y=4/2=2

(1,2)

Metodo de eliminación

Este metodo consiste en eliminar una variable sumando las Ecuaciones originales, para esto es necesario que la misma variable tenga en ambas ecuaciones coeficientes inversos

2x+9y=8...1
3x+10y=5...2

Multiplicar el CO de x en ambas

La ec. 1 multip. por 3

3(2x+9y)=8

6x+27y=24

la ec. 2 multip por -2

-2(3x+10y)=5

-6x-20y=-10

6x+27y=24

-6x-20y=-10

0+7y=14

y=14/7

y=2

Sustituir y=2 en la Ec. 1 o 2

2x+9y=8

2x+9(2)=8

2x+18=8

2x=8-14

x=-10/2

x=-5

(-5,2)

Metodo de igualacion

Este método consiste en despejar la misma variable en las 2 ecuaciones para igualarlas y asi obtener una sola ecuacion de primer grado con una incognita

x+3y+7=0...1
2x-y+7=0...2

Despejar x de la ec. 1y2
1...x=-7-3y...3
2...x=(-7+y)/2...4

Metodo de sutitucion

Este método consiste en despejar alguna de las incógnitas en función

1.-Sustituir la incognita despejada en la otra ecuacion
2.-Despejar la incognita resolviendo la ecuación resultante
3.-Encontrar el valor de la incognita despejada inicialmente sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema.

x-2y=7....1
3x+y=35....2

Despejar x de la ecuacion 1

x=7+2y...3

sustituir x en la ec. 2                     sustituir el valor de y en la ec 1

3x+y=35                                          x-2(2)=7
3(7+2y)+y=35                                  x-4=7
21+6y+y=35                                     x=7+4
7y=35-21                                          x=11
                                                (11,2)
y=14/7=2



Ejemplo2:

x+2y=8...1
2x+y=7...2

Despejar x de la ec 1

x+2y=8
x=8-2y
Sustituir y en la ec.2

2x+y=7
2(8-2y)+y=7
16+4y+y=7
-3=7-16
y=3

sustituir el valor de y en la ec. 1

x+2(3)=8
x=8-6
x=2

SIsTEMA DE ECUACIONES 2x2

1.por igualacion
2. por sustitucion
3. por suma o resta
todos ellos se engloban en un proceso llamado simultanizacion combinar algebraicamente las ecuaciones con el proposito de eliminar una de las incognitas

Funciones y ecuaciones lineales

La ecuación lineal Ax+B=0
deriva de la función lineal y=ax+b

Funcion lineal 
Para cada valor de x la función lineal y=ax+b produce un solo valor de y su gráfica es una recta

Funcion lineal                          Valor x                     Valor y

y=2x+3                                   1.- y=2(1)+3               5
                                               2.- y=(2)(2)+3             7    
                                               3.- y=2(5)+3               9

y=f(x)=2x+3

Ecuaciones de primer grado con una incognita

Las ecuaciones lineales se pueden definir como una ecuación que tiene maximo exponente 1 en cualquier variable.
Por esta razón se denomina ecuación de primer grado.
Ax+Bx+C=0

Una ecuación de primer grado lineal tiene las mismas caracteristicas que cualquier otra ecuación sus caracteristicas generales de las ecuaciones son:

a)Toda ecuación tiene 2 miembros separados por un mismo signo de igual
b)Se llaman terminos de la ecuación cada una de las expresiones literales o númericas por el signo de + o -
c)Resolver una ecuación es encontrar un número que al sustituirlo en la igualdad
d)El grado de una ecuación esta indicado por el exponente de la variable

Ejemplo

x+12=30                         6x=40
x=30-12                           x=40/6
x=18


a-(2a+1)=8-(3a+3)
a-2z-1=8-3a-3

Ej2:

15b-10=6b-b-2-b+3

15b-6b+b=3-2

11b=1
b=11

Métodos de Sustitucion

Este Método consiste en despejar.

-Sustituir la incógnita despejada en la otra ecuación.

-Despejar la incógnita resolviendo la ecuación la ecuación resultante.

-Encontrar el valor de la incógnita despejada inicialmente sustituyendo el valor encontrado en cualquier de las ecuaciones del sistema.

X-2Y=7
3X+Y=35

Despejar X de la Ec. 1
X=7+2y

Sustituir X en la Ec. 2
3X+Y=35
3(7+2Y)+Y=35
21+6Y+Y=35
7Y=35-21
Y=14/7
Y=2

Sust. De Y en la Ec. 1
X-2(2)=7
X-4=7
X=7+4
X=11

Factorizacion de Trinomios

Al multiplicar binomios de una variable obtenemmos un trinomio.

El trinomio puede escribirse como producto, invirtiendo el proceso.

Producto:              Desarrollo:                         Trinomio:
(x+2) (x+3)=         x2+3x+2x+2(3)=            X2+5X+6
                                                                      X2+6X+6


Factorización:

X2+bx+c= (X+2)   (x+6)